GLET HA2 2022-02-18

1

Da die magnetische Feldstärke nur außerhalb der Doppelleitung betrachtet wird, gilt:

$$x=\left\{x\in \mathbb{R}\setminus \left(-\frac{d}{2}-R;-\frac{d}{2}+R\right)\cup \left(\frac{d}{2}-R;\frac{d}{2}+R\right)\right\}$$

Für das Magnetfeld eines geraden, unendlich langen Leiters auf der z-Achse gilt:

$$\vec{B}=\frac{\mu I}{2\pi r}{\vec{e}}_{\varphi }$$ $$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu };H=\frac{I}{2\pi r}{\vec{e}}_{\varphi }$$

Für $x>\frac{d}{2}+R$ (hinter dem rechten Leiter) gilt:

$$\begin{array}{rl}\text{MoveEqLeft}{\vec{H}}_{\mathrm{ges}}={\vec{H}}_1+{\vec{H}}_2\stackrel{\text{nutze eqrefeq:hi}}{=}\frac{I}{2\pi \left(\frac{d}{2}+x\right)}{\vec{e}}_y+\frac{I}{2\pi \left(\frac{d}{2}-x\right)}{\vec{e}}_y& \\ & \text{overunderset}\text{eϕ=ey fu¨r}\text{die x,z-Ebene}=\frac{I}{2\pi }\left(\frac{1}{x+\frac{d}{2}}+\frac{1}{x-\frac{d}{2}}\right){\vec{e}}_y\\ & =\frac{I}{2\pi }\cdot \frac{x-\frac{d}{2}+x+\frac{d}{2}}{x^2-\frac{d^2}{4}}{\vec{e}}_y=\frac{I}{\pi }\cdot \frac{x}{x^2-\frac{d^2}{4}}{\vec{e}}_y\end{array}$$ $$H_i=\frac{I}{2\pi r_i}{\vec{e}}_{\varphi }\text{\hspace{1em}(1)}$$

Analog für $x<-\frac{d}{2}-R$ (vor dem linken Leiter) gilt:

$$\left|x+\frac{d}{2}\right|=-x-\frac{d}{2};\left|x-\frac{d}{2}\right|=-x+\frac{d}{2}$$ $$\begin{array}{rl}{\vec{H}}_{\mathrm{ges}}& =\frac{I}{2\pi \left|x+\frac{d}{2}\right|}\left(-{\vec{e}}_y\right)+\frac{I}{2\pi \left|x-\frac{d}{2}\right|}\left(-{\vec{e}}_y\right)\\ & =\frac{I}{2\pi \left(\frac{d}{2}+x\right)}{\vec{e}}_y+\frac{I}{2\pi \left(\frac{d}{2}-x\right)}{\vec{e}}_y\\ & =\frac{I}{\pi }\cdot \frac{x}{x^2-\frac{d^2}{4}}{\vec{e}}_y\end{array}$$

Für $-\frac{d}{2}+R<x<\frac{d}{2}-R$ (zwischen den Leitern) gilt:

$$\begin{array}{rl}{\vec{H}}_{\mathrm{ges}}& ={\vec{H}}_1+{\vec{H}}_2=\frac{I}{2\pi (\frac{d}{2}+x)}{\vec{e}}_y+\frac{I}{2\pi \left|x-\frac{d}{2}\right|}\left(-{\vec{e}}_y\right)\\ & =\frac{I}{\pi }\cdot \frac{x}{x^2-\frac{d^2}{4}}{\vec{e}}_y\end{array}$$

Damit gilt im gesamten Definitionsbereich:

$${\vec{H}}_{\mathrm{ges}}=\frac{I}{\pi }\cdot \frac{x}{x^2-\frac{d^2}{4}}{\vec{e}}_y$$

Abbildungen 1 und 2 skizzieren ${\vec{H}}_{\mathrm{ges}}$.

2

2.1

Die Magnetische Flussdichte $\vec{H}(z_p)$ auf der $z$-Achse ergibt sich aus dem Biot-Savart’schen Gesetz.

$$\begin{array}{rlrl}d\vec{H}(z_p)& =\frac{I_{1}d\vec{s}\times \vec{r}}{4\pi r^3};& \vec{H}(z_p)& =\frac{I_1}{4\pi }\int \frac{d\vec{s}\times \vec{r}}{r^3}\end{array}$$

Wir wandeln das Wegintegral von kartesischen in Zylinderkoordinaten um:

$$\begin{array}{r}d\vec{s}\stackrel{\underbrace{\text{Radius ρ=a}}}{=}ad\varphi {\vec{e}}_{\varphi }\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Der Abstandsvektor zeigt von der Schleife zum Bezugspunkt. Hierfür gilt:

$$\begin{array}{rl}S:& \text{ Punkt auf der Leiterschleife}\\ P:& \text{ Bezugspunkt auf der z-Achse}\\ \vec{r}=& \overrightarrow{SP}=\overrightarrow{0P}-\overrightarrow{0S}=\left(\begin{array}{ccc}0& -& a\cos \varphi \\ 0& -& a\sin \varphi \\ z_p& -& h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-a\cos \varphi \\ -a\sin \varphi \\ z_p-h\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

Für den Abstand gilt:

$$\begin{array}{rl}r& =\Vert \vec{r}\Vert =\sqrt{a^2({\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi )+(z_p-h{)}^2}\\ & =\sqrt{a^2+(z_p-h{)}^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

Wir berechnen das Magnetische Feld im Punkt $P$:

$$\begin{array}{rl}\vec{H}(z_p)& \stackrel{\text{eqrefeq:wegintegral}}{=}\frac{I_1}{4\pi }\underset{\text{la¨uft 1 Umdrehung auf ϕ}}{\underbrace{\oint \frac{d\vec{s}\times \vec{r}}{r^3}}}\\ & =\frac{I_1}{4\pi }\int \frac{{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}}{r^3}ad\varphi =\frac{I_1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}}{r^3}ad\varphi \\ & \stackrel{\text{eqrefeq:abstandNorm}}{=}\frac{I_{1}a}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}}{r^3}d\varphi \\ & =\frac{I_{1}a}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}}{\underset{\text{Nenner unabha¨ngig von ϕ}}{\underbrace{{\left(\sqrt{a^2+{(z_p-h)}^2}\right)}^3}}}d\varphi \\ & =\frac{I_{1}a}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}}{{\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}d\varphi \\ & \stackrel{\text{eqrefeq:kreuzprodukt}}{=}\frac{I_{1}a}{4\pi {\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_0^{2\pi }{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}d\varphi \\ & =\frac{I_{1}a}{4\pi {\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_0^{2\pi }\left(\begin{array}{c}-\cos \varphi (z_p-h)\\ -\sin \varphi (z_p-h)\\ a\end{array}\right)d\varphi \\ & =\frac{I_{1}a}{4\pi {\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\left[\begin{array}{c}\cos \varphi (z_p-h)\\ \sin \varphi (z_p-h)\\ a\varphi \end{array}\right]}_0^{2\pi }\\ & =\frac{I_{1}a}{4\pi {\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& -& 0\\ 0& -& 0\\ 2\pi a& -& 0\end{array}\right)\\ & =\frac{I_{1}a}{4\pi {\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\cdot 2\pi a{\vec{e}}_z\\ & =\frac{I_1{a}^2}{2{\left(a^2+{(z_p-h)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\vec{e}}_z\end{array}$$

Daraus ergibt sich die Magnetische Permeabilität:

$$\vec{B}(z_p)=\mu \vec{H}(z_p)\stackrel{\text{Permeabilita¨t des Vakuums}}{=}{\mu }_0\vec{H}(z_p)=\frac{{\mu }_0{I}_1{a}^2}{2(a^2+(z_p-h{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\vec{e}}_z$$

Sei ${\Phi }_2$ der magnetische Fluss, der von $S_1$ erzeugt wird und durch $S_2$ tritt.

$$\begin{array}{rl}{\Phi }_2& ={\iint }_{S_2}\underset{\vec{B}(0)\parallel \vec{A}}{\underbrace{\vec{B}(0)\cdot d\vec{A}}}={\iint }_{S_2}B(0){\vec{e}}_z\cdot {\vec{e}}_{z}dA={\iint }_{S_2}\underset{\text{unabha¨ngig}}{\underbrace{B(0)}}\cdot dA\\ & =B(0){\iint }_{S_2}dA=B(0)\cdot A_{S_2}=B(0)\cdot b^2\end{array}$$

Sei $M_2$ die Gegeninduktivität von $S_2$:

$$M_2\stackrel{\text{Def.}}{=}\frac{{\Phi }_2}{I_1}=\frac{b^2}{I_1}\cdot B(0)=\frac{b^2}{I_1}\cdot \frac{{\mu }_0{I}_1{a}^2}{2{\left(a^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{{\mu }_0{a}^2{b}^2}{2{\left(a^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

Wir rechnen das Kreuzprodukt aus:

$$\begin{array}{rl}{\vec{e}}_{\varphi }\times \vec{r}& =\left(\begin{array}{c}-\sin (\varphi )\\ \cos (\varphi )\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-a\cos (\varphi )\\ -a\sin (\varphi )\\ z_p-h\end{array}\right)\\ & \stackrel{\text{nutze r aus eqrefeq:abstandVec}}{=}\left(\begin{array}{c}-\cos (\varphi )(z_p-h)\\ -\sin (\varphi )(z_p-h)\\ a\cdot ({\sin }^2(\varphi )+{\cos }^2(\varphi ))\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\cos (\varphi )(z_p-h)\\ -\sin (\varphi )(z_p-h)\\ a\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.2

Es gilt:

$$\begin{array}{rlrl}{I}_2& =\frac{U_2}{R_2}& & \text{Ohm’sches Gesetz}\\ U_2& =\frac{d{\Phi }_2}{dt}& & \text{Induktionsgesetz}\\ \Phi & =MI& & \text{Magnetischer Fluss}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)(7)(8)}$$

Es wird das Induktionsgesetz zur Bestimmung der Spannung genutzt. Dazu wird der magnetische Fluss berechnet. Zum Zeitpunkt $t$ beträgt der Magnetische Fluss laut $\text{eqref}eq:MagnetischerFluss$:

$${\Phi }_2(t)=M{i}_1(t)$$

Für die induzierte Spannung gilt laut Induktionsgesetz $\text{eqref}eq:Induktionsgesetz$:

$$\begin{array}{rl}{U}_2& =\frac{d{\Phi }_2(t)}{dt}=M\frac{d{i}_1(t)}{dt}\stackrel{\text{gegeben i1(t)=I0cos(ωt)}}{=}{M}_2{I}_0\frac{d\cos (\omega t)}{dt}\\ & =M_2{I}_0\cdot (-\omega \sin (\omega t))=-M_2{I}_0\omega \sin (\omega t)\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

Sei $R_2$ der Widerstand von $S_2$:x

$$\begin{array}{rl}R& =\frac{l}{\kappa A}=\frac{4b}{\kappa A_1}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

Daraus ergibt sich für den Strom in $S_2$ gemäß Ohm’schen Gesetz $\text{eqref}eq:OhmschesGesetz$:

$$\begin{array}{rl}{I}_2& =\frac{U_2}{R_2}\stackrel{\text{eqrefeq:Spannung und eqrefeq:Widerstand einsetzen}}{=}\frac{-M_2{I}_0\omega \sin (\omega t)}{\frac{4b}{\kappa A_1}}\\ & \stackrel{\text{nutze M2 aus eqrefeq:Gegeninduktivitaet in 2.1}}{=}-\frac{{\mu }_0{a}^2{b}^2}{2{\left(a^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\cdot \frac{I_0\omega \kappa A_1\sin (\omega t)}{4b}\\ & =-\frac{{\mu }_0{a}^{2}b{I}_0\omega \kappa A_1\sin (\omega t)}{8{\left(a^2+h^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

3

In $t=0$ hat sich der Drahtrahmen noch nicht bewegt und es wirkt noch keine Lorenzkraft. Sobald der Drahtrahmen im Magnetfeld fällt, wird eine laut $\text{eqref}eq:Induktionsgesetz$ Spannung induziert:

$$U=\frac{d\Phi }{dt};d\Phi =BdA;\frac{dA}{dt}=\frac{adx}{dt}=av$$

Somit ergibt sich für Spannung und Strom:

$$\begin{array}{rlrl}U& =Bav;& I& =\frac{U}{R}=\frac{Bav}{R}\end{array}$$

Nach eingesetzter Bewegung stellt sich zwischen der entgegengerichteten Gravitationskraft ${\vec{F}}_{\mathrm{G}}$ und Lorenzkraft ${\vec{F}}_{\mathrm{mag}}$ ein Kräftegleichgewicht ein, sofern die Fallgeschwindigkeit $v$ konstant bleibt und die Reibung vernachlässigt wird.

$${\vec{F}}_{\mathrm{mag}}=a\vec{I}\times \vec{B}=aI{\vec{e}}_y\times {\vec{e}}_{z}B=\frac{a^2{B}^{2}v}{R}{\vec{e}}_z$$ $${\vec{F}}_{\mathrm{G}}=mg(-{\vec{e}}_z)$$

Im Kräftegleichgewicht gilt:

$${\vec{F}}_{\mathrm{mag}}+{\vec{F}}_{\mathrm{G}}=0⟺\frac{a^2{B}^{2}v}{R}{\vec{e}}_z-mg{\vec{e}}_z=0⟺\frac{a^2{B}^2}{R}v=mg$$ $$\begin{array}{rlrl}⟹v& =\frac{mgR}{a^2{B}^2}& & \left[\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \mathrm{\Omega }}{{\mathrm{m}}^2\cdot {\left(\frac{\mathrm{Vs}}{{\mathrm{m}}^2}\right)}^2}\right]\\ v& \approx 1.7\cdot 10^{-2}& & \left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]\end{array}$$