Stoch HA8 zum 2023-06-16

!Hausaufgabengruppe in Stochastik für Informatik

Aufgabe 1)

a)

$$f:\mathbb{R}\to [0,\infty )f(x)=\frac{C}{1+x^2}$$

Wir wählen $C=\frac{1}{\pi }$.

$$f(x)=\frac{1}{\underset{\text{>0}}{\underbrace{\pi }}}\cdot \frac{1}{\underset{\text{>0}}{\underbrace{1+x^2}}}$$

Also ist $f(x)\ge 0\text{ fu¨r alle }t\in \mathbb{R}$.

$$\begin{array}{rl}\text{MoveEqLeft}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi }\cdot \frac{1}{1+x^2}dx\stackrel{\text{Konstante}}{=}\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx& \\ & \text{overunderset}\text{Symmetrisch um 0}\text{auf (−∞,∞)}=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx\\ & \text{overunderset}\text{Bekannte}\text{Stammfunktion}=\frac{2}{\pi }\underset{a\to \infty }{\lim }(\arctan (x){|}_0^a)\\ & =\frac{2}{\pi }\cdot \left(\underset{a\to \infty }{\lim }\arctan (a)-0\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=1\end{array}$$

Also ist ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$.

Es gilt $f(x)\ge 0\text{ fu¨r alle }t\in \mathbb{R}$ und ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$. Also ist $f$ eine Dichte.

b)

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{1}{x^3}& x\ge 1\\ 0& x<1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{MoveEqLeft}\mathbb{P}(X\in [2,4])=\mathbb{P}(X\le 4)-\mathbb{P}(X\le 2)+\underset{\text{=0}}{\underbrace{\mathbb{P}(X=2)}}=F(4)-F(2)& \\ & =\left(1-\frac{1}{4^3}\right)-\left(1-\frac{1}{2^3}\right)=\frac{63}{64}-\frac{7}{8}=\frac{7}{64}\approx 0,101\end{array}$$

Da $a=3>1$ gilt, folgt für die Pareto-verteilte Zufallsvariable $X$:

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[X\right]& ={\int }_1^{\infty }t\cdot \frac{3\cdot 1^3}{t^4}dt=3{\int }_1^{\infty }{t}^{-3}dt\\ & =3\cdot \underset{a\to \infty }{\lim }\left({-\frac{1}{2t^2}|}_1^a\right)=3\cdot \left(0+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}=1,5\end{array}$$

Aufgabe 2)

Die stetig gleichverteilte Zufallsvariable $X$ mit $\Omega =[0,1]$ hat die Dichte:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x\le 1\\ 0& \text{sonst.}\end{array}$$

Die exponentialverteilte Zufallsvariable $Y$ mit $\lambda =1$ hat die Dichte:

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0& y<0\\ e^{-y}& y\ge 0\end{array}$$

Da $X$ und $Y$ unabhängig sind, gilt für ihre gemeinsame Dichte:

$$f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y}& 0\le x\le 1\wedge y\ge 0\\ 0& \text{sonst.}\end{array}$$

Da $X$ und $Y$ unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe für alle $z\in \mathbb{R}$ gegeben durch das Faltungsintegral:

$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)\cdot f_Y(z-x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{(X,Y)}(x,z-x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\{\begin{array}{ll}{e}^{x-z}& 0\le x\le 1\wedge z\ge x\\ 0& \text{sonst.}\end{array}dx\end{array}$$

Fall 1: $z<0$

$$\begin{array}{rl}\text{MoveEqLeft}{\int }_{-\infty }^{\infty }\{\begin{array}{ll}{e}^{x-z}& 0\le x\le 1\wedge z\ge x\\ 0& \text{sonst.}\end{array}dx& \\ & =\underset{\text{x<0}}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{0}0dx}}+\underset{\text{0≤x≤1, z<x}}{\underbrace{{\int }_0^{1}0dx}}+\underset{\text{x>1}}{\underbrace{{\int }_1^{\infty }0dx}}=0\end{array}$$

Fall 2: $0\le z\le 1$

$$\begin{array}{rl}\text{MoveEqLeft}{\int }_{-\infty }^{\infty }\{\begin{array}{ll}{e}^{x-z}& 0\le x\le 1\wedge z\ge x\\ 0& \text{sonst.}\end{array}dx& \\ & =\underset{\text{x<0}}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{0}0dx}}+\stackrel{\text{0≤x≤1, z≥x}}{\overbrace{{\int }_0^z{e}^{x-z}dx}}+\underset{\text{0≤x≤1, z<x}}{\underbrace{{\int }_z^{1}0dx}}+\underset{\text{x>1}}{\underbrace{{\int }_1^{\infty }0dx}}\\ & ={\int }_0^z{e}^{x-z}dx=e^{-z}{\int }_0^z{e}^{x}dx\\ & =e^{-z}\cdot \left(e^x{|}_0^z\right)=e^{-z}(e^z-1)=1-e^{-z}\end{array}$$

Fall 2: $z>1$

$$\begin{array}{rl}\text{MoveEqLeft}{\int }_{-\infty }^{\infty }\{\begin{array}{ll}{e}^{x-z}& 0\le x\le 1\wedge z\ge x\\ 0& \text{sonst.}\end{array}dx& \\ & =\underset{\text{x<0}}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{0}0dx}}+\underset{\text{0≤x≤1, z≥x}}{\underbrace{{\int }_0^1{e}^{x-z}dx}}+\underset{\text{x>1}}{\underbrace{{\int }_1^{\infty }0dx}}={\int }_0^1{e}^{x-z}dx\\ & =e^{-z}{\int }_0^1{e}^{x}dx=e^{-z}\cdot \left(e^x{|}_0^1\right)=e^{-z}(e-1)a\end{array}$$

Die Zufallsvariable $Z=X+Y$ hat somit die Dichte:

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-z}(e-1)& z>1\\ 1-e^{-z}& 0\le z\le 1\\ 0& z<0\end{array}$$

Aufgabe 3)

Sei $X\sim \mathrm{Bin}(n;0,82)$ die Anzahl der erschienenen von den $n$ angemeldeten Studienanfängern. Sei $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ die Anzahl der angemeldeten Studienanfängern.

Wir stellen die Zufallsvariable als Summe von unabhängig, identisch verteilten Zufallsvariablen $Y_i\sim \mathrm{Ber}(0,82),i=1,\dots ,240$, die jeweils das Erscheinen eines angemeldeten Studienanfängern beschreibt, dar:

$$X=\sum _{i=1}^n{Y}_i$$

Laut dem zentralen Grenzwertsatz gilt

$$X\approx n\cdot \mathbb{E}\left[Y_1\right]+\sqrt{n}\cdot \sigma \cdot Y$$

wobei $\mathbb{E}\left[Y_1\right]=0,82$ und $\sigma =\sqrt{\mathbb{V}(Y_1)}=\sqrt{0,82\cdot 0,18}=\sqrt{0,1476}$ und $Y$ standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.

$$X\approx n\cdot 0,82+\sqrt{n}\cdot \sqrt{0,1476}\cdot Y=0,82n+\sqrt{0,1476n}\cdot Y$$ $$Y\approx \frac{X-0,82n}{\sqrt{0,1476n}}$$

a)

Sei $n=240$.

$$\mathbb{P}(X\le 220)\approx \mathbb{P}\left(Y\le \frac{220-0,82\cdot 240}{\sqrt{0,1476\cdot 240}}\right)\approx \mathbb{P}\left(Y\le 3.89798\right)={\Phi }_{0,1}\left(3,89798\right)\approx 0,999515$$

b)

Sei $n\in {\mathbb{N}}^{+}$.

$$0,99\le \mathbb{P}(X\le 220)\approx \mathbb{P}\left(Y\le \frac{220-0,82n}{\sqrt{0,1476n}}\right)={\Phi }_{0,1}\left(\frac{220-0,82n}{\sqrt{0,1476n}}\right)$$

Laut Normalverteilungstabelle gilt ${\Phi }_{0,1}(2,32)\approx 0,9898\approx 0,99$.

$${\Phi }_{0,1}(2,32)\le 0,99\le {\Phi }_{0,1}\left(\frac{220-0,82n}{\sqrt{0,1476n}}\right)$$

Da die Standardnormalverteilung monoton steigend ist, folgt:

$$2,32\le \frac{220-0,82n}{\sqrt{0,1476n}}\Rightarrow 0<n\le 251,069\stackrel{\text{n∈N+}}{\Rightarrow }n\le 251$$

Die Probe für $n^{\prime }=251$ ergibt $\mathbb{P}\left(Y\le \frac{220-0,82\cdot 251}{\sqrt{0,1476\cdot 251}}\right)\approx {\Phi }_{0,1}(2,32968)\approx 0,9901\ge 0,99$. Die Probe für $n^{\prime \prime }=252$ ergibt $\mathbb{P}\left(Y\le \frac{220-0,82\cdot 252}{\sqrt{0,1476\cdot 252}}\right)\approx {\Phi }_{0,1}(2,19060)\approx 0,9858\ngeqq 0,99$.

Es dürfen höchstens 251 Anmeldungen angenommen werden.